I riparti sono delle operazioni matematiche che permettono la ripartizione di valori proporzionalmente a degli elementi dati.

I riparti possono essere fondamentalmente di 5 tipi:
Riparto semplice diretto;
Riparto semplice inverso;
Riparto composto diretto;
Riparto composto inverso;
Riparto misto (semplice e composto).

Riparto semplice diretto

La somma da ripartire verra' suddivisa in maniera direttamente proporzionale ad una sola serie di dati.
Si indichera' con S la somma da ripartire;
Si indicheranno con a, b, c (ecc.) la serie di dati che determineranno la ripartizione; potranno essere una percentuale o la parte di utilizzo (o proprieta') spettante;
Si indicheranno con X, Y, Z le quote di ripartizione; tali quote dovranno essere suddivise in maniera direttamente proporzionale: X ad a; Y a b; Z a c ; tali quote saranno direttamente proporzionali ad a, b, c (piu' e' grande a, b, o c, e piu' sara' grande la quota spettante).

Si imposteranno tante proporzioni quante sono le quote di ripartizione:
S : (a+b+c) = X : a
S : (a+b+c) = Y : b
S : (a+b+c) = Z : c

Come si puo' notare la prima parte di ogni proporzione (S : (a+b+c)) e' uguale e per questo viene detta Quoziente fisso. Per la proprieta' fondamentale delle proporzioni (il prodotto dei medi e' uguale al prodotto degli estremi):
X = S / (a+b+c) * a
Y = S / (a+b+c) * b
Z = S / (a+b+c) * c

Il che equivale a moltiplicare il quoziente fisso per i dati permettenti la ripartizione.
Q.f. * a = X
Q.f. * b = Y
Q.f. * c = Z
Logicamente X + Y + Z = S.

Esempio:
quattro proprietari fondiari decidono la costruzione di una strada intrapoderale che li colleghi piu' rapidamente alla via principale. Il costo di euro 50000,00 verra' suddiviso in maniera direttamente proporzionale alla lunghezza del tratto di strada utilizzato da ciascun proprietario fondiario.

Il proprietario X utilizza 260 m , il proprietario Y utilizza 320 metri, il proprietario Z utilizza 390 m , il proprietario W utilizza 450 m. Determinare le quote di spese spettanti a ciascun proprietario.
Q.f. = 50000,00 / (260 + 320 + 390 + 450)
Proprietario X : Q.f. * 260 = euro 9154,93
Proprietario Y : Q.f. * 320 = euro 11267,61
Proprietario Z : Q.f. * 390 = euro 13732,39
Proprietario W : Q.f. * 450 = euro 15845,07
Logicamente, la somma delle quote di spesa spettanti ai vari proprietari fondiari sara' di euro 50000,00

Riparto semplice inverso

La somma da ripartire verra' suddivisa in maniera inversamente proporzionale ad una sola serie di dati.
Si indichera' con S la somma da ripartire;
Si indicheranno con a, b, c (ecc.) la serie di dati che determineranno la ripartizione; potranno essere una percentuale o la parte di utilizzo (o proprieta') spettante;
Si indicheranno con X, Y e Z le quote di ripartizione, in detto riparto X verra' suddiviso in maniera inversamente proporzionale ad a, Y verra' suddiviso in maniera inversamente proporzionale a b, Z verra' suddiviso in maniera inversamente proporzionale e c.

Prendendo il reciproco (1/a, 1/b, 1/c) dei dati del problema, si trasformera' il riparto inversamente proporzionale, in un riparto semplice diretto.

Si imposteranno quindi tante proporzioni quante sono le quote di ripartizione:
S : (1/a + 1/b + 1/c) = X : 1/a
S : (1/a + 1/b + 1/c) = Y : 1/b
S : (1/a + 1/b + 1/c) = Z : 1/c

Come si puo' notare la prima parte di ogni proporzione (S : (1/a + 1/b + 1/c)) e' uguale e per questo viene detta Quoziente fisso. Per la proprieta' fondamentale delle proporzioni (il prodotto dei medi e' uguale al prodotto degli estremi):
X = S / (1/a + 1/b + 1/c) * 1/a
Y = S / (1/a + 1/b + 1/c) * 1/b
Z = S / (1/a + 1/b + 1/c) * 1/c

Il che equivale a moltiplicare il quoziente fisso (S / (1/a + 1/b + 1/c)) per il reciproco (1/a, 1/b, 1/c) dei dati permettenti la ripartizione, ottenendo cosi' le quote di ripartizione:
Q.f. * 1/a = X
Q.f. * 1/b = Y
Q.f. * 1/c = Z

Logicamente la somma delle quote di ripartizione deve coincidere con la somma da ripartire, ovvero: X + Y + Z = S

Esempio
quattro allevatori decidono la costruzione di un pozzo per abbeverare il bestiame al pascolo. Il costo per la costruzione del pozzo ammonta a euro 50000,00 che verra' suddiviso in maniera inversamente proporzionale alla distanza media di ciascun pascolo dal pozzo stesso. Il pascolo del primo proprietario dista 230 m; il secondo dista 350 m; il terzo 540 m; il quarto 270 m.

Determinare le quote di spesa spettanti a ciascun proprietario fondiario.
Il Quoziente fisso sara': 50000,00 / (1/230 + 1/350 + 1/540 + 1/270)
Il primo allevatore paghera': Q.f.* 1/230 = euro 17036,24;
il secondo allevatore : Q.f.* 1/350 = euro 11195,24;
il terzo allevatore : Q.f.* 1/540 = euro 7256,17;
il quarto allevatore : Q.f.* 1/270 = euro 14512,35.
La somma delle quote di ripartizione sara': euro 50000,00

Riparto composto diretto

La somma da ripartire verra' suddivisa in maniera direttamente proporzionale a due o piu' serie di dati.
Indicando con S la somma da ripartire e con X, Y e Z le quote di ripartizione, in detto riparto:
X verra' suddiviso in maniera direttamente proporzionale ad a e l;
Y verra' suddiviso in maniera direttamente proporzionale a b e m;
Z verra' suddiviso in maniera direttamente proporzionale a c e n.
Il Quoziente fisso sara': S / (a*l + b*m + c*n) come gia' visto per le altre forme di riparto:
Q.f. * (a*l) = X
Q.f. * (b*m) = Y
Q.f. * (c*n) = Z
Logicamente: S = X + Y + Z


Esempio
Quattro proprietari di aziende agricole adiacenti decidono la costruzione di una strada intrapoderale che li colleghi piu' agevolmente al mercato. Il costo di euro 50000000,00 verra' suddiviso un maniera direttamente proporzionale non solamente alla lunghezza del tratto di strada utilizzato da ciascun proprietario ma anche alla superficie di ciascun fondo.
Il primo proprietario utilizza 150 m e presenta sup. 15,403 km2;
il secondo proprietario utilizza 230 m e presenta sup. 8,309 km2;
il terzo proprietario utilizza 360 m e presenta sup. 25,908 km2;
il quarto proprietario utilizza 470 m e presenta sup. 9,905 km2.

Determinare la quote di spesa di ciascun proprietario fondiario.
Q.f. = 50000000,00 / (150*15,403 + 230*8,309 + 360*25,908 + 470*9,905)
Il primo proprietario paghera': Q.f. * (150*15,403) = euro 6346080,00;
il secondo proprietario paghera':Q.f.* (230 * 8,309)= euro 5249110,00;
il terzo proprietario paghera': Q.f. * (360*25,908) = euro 25618020,00;
il quarto proprietario paghera':Q.f. * (470*9,905) = euro 12786790,00
La somma delle quote di ripartizione sara': euro 50000000,00

Riparto composto inverso

La somma da suddividere verra' ripartita in maniera inversamente proporzionale a due o piu' serie di dati.
Indicando con S la somma sa ripartire, X, Y e Z le quote di ripartizione, in detto riparto:
X verra' suddiviso in maniera inversamente proporzionale ad a e l;
Y verra' suddiviso in maniera inversamente proporzionale a b e m;
Z verra' suddiviso in maniera inversamente proporzionale a c e n.

Prendendo il reciproco dei dati permettenti la ripartizione, si tramutera' il riparto composto inverso in composto diretto.
Per cui Q.f. = S / (1/(a*l)+1/(b*m)+1/(c*n))
Q.f. * 1/(a*l) = X
Q.f. * 1/(b*m) = Y
Q.f. * 1/(c*n) = Z
Logicamente: S = X + Y + Z

Esempio
Quattro proprietari di aziende agricole adiacenti ad un torrente presentante periodici straripamenti decidono la costruzione di un argine che li protegga dalle acque. La spesa per la costruzione dell'argine ammonta a euro 50000000,00 e verra' suddivisa in maniera inversamente proporzionale sia alla distanza media di ciascuna azienda agricola dall'argine che dalla sua quota media sopra il livello del torrente.

La prima azienda dista 230 m e presenta quota 0,5 m;
la seconda azienda dista 320 m e presenta quota 1 m;
la terza azienda dista 310 m e presenta quota 0,75 m;
la quarta azienda dista 450 m e presenta quota 0,25 m.

Determinare la quota di spesa spettante a ciascun proprietario fondiario.
Q.f. = 50000000,00 / (1/(230*0,5) + 1/(320*1) + 1/(310*0,75) + 1/(450*0,25))

Il primo proprietario paghera': Q.f. * 1/(230*0,5) = euro 17383920,00;
il secondo proprietario paghera': Q.f. * 1/(320*1) = euro 6247345,00;
il terzo proprietario paghera': Q.f. * 1/(310*0,75) = euro 8598500,00;
il quarto proprietario paghera': Q.f. * 1/(450*0,25)= euro 17770235,00.
La somma delle quote di ripartizione sara': euro 50000000,00

Riparto misto semplice

In detto riparto la somma da ripartire verra' suddivisa in maniera direttamente proporzionale ad una sola serie di dati ed in maniera inversamente proporzionale ad un'altra sola serie di dati.
Indicando con S la somma da ripartire, con X, Y e Z le quote di ripartizione, in detto riparto:
X verra' suddiviso in maniera direttamente proporzionale ad a ed in maniera inversamente proporzionale ad l;
Y verra' suddiviso in maniera direttamente proporzionale a b ed in maniera inversamente proporzionale ad m;
Z verra' suddiviso in maniera direttamente proporzionale a c ed in maniera inversamente proporzionale ad n.
Interpolando fra loro i due tipi di riparti semplici visti si otterra' la soluzione di detto riparto:
Q.f. = S / ((a/l) + (b/m) + (c/n))
Q.f. * (a/l) = X
Q.f. * (b/m) = Y
Q.f. * (c/n) = Z

Logicamente: S = X + Y + Z

Esempio
Quattro Comuni decidono la costruzione di un ponte che li colleghi piu' agevolmente alla rete viaria. La spesa di euro 50000000,00 (al netto del contributo statale) verra' suddivisa in proporzione diretta al numero di abitanti ed in proporzione inversa alla distanza media di ciascun Comune dal ponte.

Il primo Comune presenta 2.560 abitanti e dista 2,5 km;
il secondo Comune presenta 1.560 abitanti e dista 5,3 km;
il terzo Comune presenta 4.890 abitanti e dista 4.8 km;
il quarto Comune presenta 3.980 abitanti e dista 6.7 km.

Determinare le quote di ripartizione della spesa fra i vari Comuni.
Q.f. = 50000000 / ((2.560/2,5) + (1.560/5,3) + (4.890/4,8) + (3.980/6,7))

Il primo Comune paghera': Q.f. * (2.560/2,5) = euro 17467730,00;
il secondo Comune paghera': Q.f.* (1.560/5,3) = euro 5020940,00;
il terzo Comune paghera': Q.f. * (4.890/4.8) = euro 17378175,00;
il quarto Comune paghera': Q.f. * (3.980/6,7) = euro 10133155,00.
Come si puo' constatare la somma delle quote di ripartizione coincide con la somma da ripartire: euro 50000000,00.


Fonte: www.istruzioneonline.it